【高校数学】未定係数法が難しくて解けない？問題を解くコツは連立方程式

未定係数法とは？

化学の勉強の上で「化学反応式を書く」ことは避けては通ることが出来ません。

化学反応式とは、右矢印の左側に反応する物質、右側に生成する物質を書くことで物質の化学反応による変化を化学式で表したものです。

また化学式は物質の反応前後の量的な関係も表しています。

そのため、化学式の両辺の原子の数が一致していることが重要となってきます。

例えば「銅が酸素と結合して酸化銅になる」反応であれば、化学式は

2Cu+O₂→2CuO

となります。

左辺にはCuが2個、Oが2個、右辺にもCuとOが2個ずつあることが分かります。

「銅Cuと希硝酸HNOが反応して、硝酸銅Cu(NO₃)₂と水H₂Oと一酸化窒素NOが発生する」反応の化学式はどうなるでしょうか。

とりあえず出てきた化学式を並べて

?Cu+?NHO₃→?Cu(NO₂)₃+?H₂O+?NO

となるところまではすぐわかりますよね。

しかし両辺の原子の数を一致させるには？にどんな数字を入れればいいかはパッと見ただけでは分かりません。

この分からない係数部分を順序だてて計算しようという方法が未定係数法です。

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未定係数法を使った解き方

未定係数法というとややこしい計算をしなければならないというイメージをお持ちかもしれませんが、大まかには次の3ステップだけこなせば計算は完了します。

①化学式の係数を記号で表して、方程式を作る。

②一番よく出てくる文字を1として方程式を解く。

③係数が整数倍になるように両辺に数をかける。

それでは、先ほどの硝酸銅の反応を例に実際に未定計数法を使ってみましょう。

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①化学式の係数を記号で表して、方程式を作る。

まずは？の部分に、機械的にCuの数はa、HNOの数はb、Cu(NO₃)₂の数はc、H₂Oの数はd、NOの数はeと記号を振りましょう。

化学反応式では反応の前後の原子の数が一致しているので、まずはこの関係を使って、各原子について方程式を立てます。

Cuの数

a=c

Hの数

b=2d

Nの数

b=2c+e

Oの数

3b=6c+d+e

②一番よく出てくる文字を1として方程式を解く。

方程式が立てられたら、次は一番多く出てくる文字を1としましょう。

今回はbが最もよく出てきているので、b=1とすると、式はそれぞれ

a=c

1=2d

1=2c+e

3=6c+d+e

となります。

この式から、d=½であることはすぐ分かります。

また、a=cであり、cとeについても、3番目と4番目の式を2元連立方程式とみれば、
a=c=⅜、e=¼と分かります。

因みに、最も多く出てくる文字を1にすると一番計算量が少なくて済みますが、方程式はどの文字を1にしても解くことが出来ます。

テストなどで迷った時にはとにかくどれかの文字を1にして解くようにしましょう。

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③係数が整数倍になるように両辺に数をかける。

②まで出来ればあと少しです。

②で求めた数字を元の化学反応式に入れましょう。

⅜Cu+NHO₃→⅜Cu(NO₂)₃+½H₂O+¼NO

となります。ここで、すべての係数を整数にするには、両辺に8をかければいいので、

3Cu+8NHO₃→3Cu(NO₂)₃+4H₂O+2NO

これで化学反応式が完成します。

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未定係数法の勉強方法

ここまで未定係数法について解説してきましたが、未定係数法をマスターするにはとにかく何も見ずに解けるまで繰り返すことが重要です。

教科書や問題集にある有機化合物の燃焼や酸化還元反応などの複雑な化学反応式の係数を1から未定係数法を使って求めてみてください。

最初はやり方を見ながらで構いません。

先ほど述べた①②③の流れを意識しながら解きます。

何度も解いているうちに①②③の流れが体に染みついて、何も考えなくても係数を求めることが出来るようになります。

未定係数法は一度マスターしてしまえばどんな化学反応式でもすらすら書けるようになる優れものです。

確実に使えるようにくり返し練習しましょう。