大学受験の1次関数とは？一次関数をわかりやすく解説！問題の解き方のコツや求め方など

大学受験における1次関数の概要

大学受験の数学において重要な単元の一つが、1次関数。

二次関数を解く際にも、1次関数を利用することもあります。

１次関数の概要としては２つの変数x、yがあるとき、１次関数は次の式で表されます。

ｙ＝ax+ｂ（ただし、a,bは定数とします）

重要な定義なので、必ず覚えといてください。

またｙ＝ｆ（x）とも表します。

a=0のときｙ＝ｂとなるので、ｘがどんな値になってもｙ＝ｂとなります。

これを定数関数と呼びます。

また関数ｙ＝ｆ（ｘ）について、ｘ＝ｐのときのyの値をｆ（ｐ）で表し、ｘ＝ｐの時のｆ（ｘ）の値がｆ（ｐ）となります。

例としてはｆ（ｘ）＝３ｘ－４のとき、ｆ（３）=3×3-4＝５となり、この５という数字が値となります。

関数ｙ＝ｆ（ｘ）について、xのとりうる値の範囲をこの関数の定義域と呼びます。

ｘが定義域の中のすべての値をとるときのｙの値を値域と呼びます。

定義域が設定されていないときはすべての実数で考えることが多いです。

例　ｙ＝3ｘ-4（ｘの範囲記述なし）定義域→すべての実数

値域→すべての実数

ｙ＝3ｘ-4（1≦ｘ≦4）定義域→１≦ｘ≦４

値域→‐1≦ｘ≦８

関数のグラフとしては、ｙ＝ｆ（ｘ）のとき、座標平面上での（p,f(p)）を座標にもつ店全体からなる図形をｙ＝ｆ（ｘ）のグラフと表現します。

これは2次関数でも使います。

グラフとしては、y=ax＋ｂのa、ｂの部分、つまりは傾きによって変わってきます。

このようにaがかわることにより正か負かで変わってきます。

関数ｙ＝ｆ（ｘ）においてその値域に最も大きな値があるとき、その値を最大値、最も小さい値を最小値といいます。

ｘの定義域の端と端、例えば‐1≦ｘ≦１のｘ＝‐1と1のとき、ｙは最大値、最小値となることが多いです。

またa＞0の時はｘの数字が小さいほうが最小値、大きいほうが最大値を取ります。

ここではｘ＝－１のほうが小さいので最小値、ｘ＝１の時が最大値になります。

a＜0のときは逆で数字が小さいほうつまりはx＝－1の時が最大、大きいほうが最小値を取ります。

a>0  ｘの定義域の小さいほう→ｙは最小値　大きいほう→ｙは最大値

a<0  ｘの定義域の大きいほう→ｙは最小値　小さいほう→ｙは最大値

大学受験における1次関数の勉強法

ｘの定義域、ｙの値域の指定をして、傾きとｙ切片を求める問題が頻出。

例えば、a>0のとき、ｙ＝ax＋ｂ（－1≦ｘ≦１）で、（0≦y≦2）のときaとbの値を求めよというような問題。

このときはxの範囲の端と端が最大、最小となるので（ｘ、y）＝（－１，０）,（１，２）を代入し0＝-a＋ｂ,2＝a＋bという二次方程式になり、これをとくと、a=1,b=1となります。

ｘｙの定義域、値域を書かずにｆ（ｘ）＝ax＋ｂとする、ｆ（－１）＝０,とｆ（１）＝２のときのa,bを求めてくださいという問題も良く見られます。

さっきの問題と全く同じことを聞いており、同じ、a=1,b=1となります。

このように形を変えて出題されるので、たくさん演習して慣れておかなければいけません。

またグラフを書かせる問題も出ますので、自分でグラフを書く習慣もつけておきましょう。